在中国传统文化中，正月初五是被称为“破五”的日子，是春节后的第五天。这个日子通常被认为是一年中比较适合破除旧习、迎接新开始的日子。至于是否是黄道吉日，这取决于你参考的历法。
在农历中，黄道吉日是指那些被认为适合进行吉祥、吉庆活动的日子。2021年的正月初五是否为黄道吉日，需要查看当年度的农历黄历。
一般来说，如果2021年的正月初五被黄历标注为黄道吉日，那么从传统意义上讲，这一天订婚是可以的，因为人们普遍认为在这样的日子里举行婚礼或订婚等喜庆活动能够带来好运。
但是，是否订婚还应该考虑以下几个因素：
1. 个人意愿：最重要的是双方是否愿意在这一天订婚。
2. 家庭意见：双方家庭的意见也很重要，有时候家庭会根据传统的吉日来安排订婚。
3. 实际情况：考虑双方的生活安排、工作等因素，确保这一天对双方都是方便的。
综上所述，如果你认为2021年的正月初五适合你们，并且符合双方意愿和家庭安排，那么这一天订婚是可以的。
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